【数学压轴】总结2005年各市的中考数学压轴题

2012-05-21 10:34:56 来源:山西中考网 分享资源


从2005年各市的中考数学压轴题中好好总结一下,这对我们如今的教育教学和升学考试指导等工作将是十分有益的。

  首先我们来看一下改革前沿的上海市中考数学压轴题,然后再加以分析和解答。

  例题:(2005年上海市中考数学最后一题第25题)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,O是边AC上的一个动点,以0为圆心作半圆,与边AB相切于点D,交线段OC于点E,作EP⊥ED交射线AB于点P,交射线CB于点F.(1)如图,求证:△ADE∽△AEP;

  (2)设OA=,AP=时,求关于的函数关系式,并写出它的定义域;

  (3)当BF=1时,求线段AP的长。分析:此题起点不高,但要求较全面。是一道数与形、代数计算与几何证明、相似三角形的判定与性质、画图分析与列方程求解、勾股定理与函数、圆和三角比相结合的综合性试题。同时考查了初中数学中最重要的数学思想:数形结合的思想、分类讨论的思想和几何运动变化等数学思想。本题似曾相识又不相识,融入了动态几何的变和不变,要求学生动中求静,静中思变,有一定难度,但上手还是容易的。本题有三问,相当于三个台阶,这种恰当的铺垫给了考生较宽的入口,有利于考生正常水平的发挥。而通过层层设问,拾级而上,逐步深入,能够使一部分优秀学生数学水平得到体现,起到了中考―――升学考试选拔的功能。

  第(1)问是基础,求两个三角形相似,只要连结OD,易于找出有两个角对应相等,即可得出结论。起点低,上手容易,绝大多数学生都能够比较轻松的给以解答。

  第(2)问和第(3)问的解答,由数形结合求出函数的关系式后,既要善于观察和推理判断,又要准确的计算,更要全面细致的分析。首先要充分运用数学中分类讨论的思想,仔细审题,抓住线段和射线这两个概念的区别,考虑到圆心O在AC上运动变化时的两种情形,使EP⊥ED交线段AB于点P和EF交AB延长线于点P,分别讨论解决,即可得出正确答案。

  简解:(1)连结OD,只需证出∠ADE=∠AEP,或∠AED=∠APE,而∠A=∠A是公共角,即可证得△ADE∽△AEP。

  (2)由(1)问,得出△ADE∽△AEP,它们的对应边成比例。

  由已知条件,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,利用勾三股四弦五整数组解,(详见6月21日《新闻晚报》我们的文章“从压轴题看勾三股四的运用”),即得到解答:

  y关于的x函数关系式是:y=165x。

  求函数的定义域,比较容易出错,造成漏解和错解。要充分运用数学中分类讨论的思想,仔细审题,抓住线段和射线这两个关键性的概念,得到函数的定义域是:0<x≤258。

  (3)由△ADE∽△AEP和△FBP∽△DEP,它们的对应边成比例,采用过渡比,代入数值,AP也是两种情形,可计算出AP=2或6两解。

  以上我们对今年上海市的中考数学压轴题进行了分析和解答,它给了我们那些启示?

  ■上海市的二期课改已从中考这个教育教学最有力的“指挥棒”开始行动起来了。每个学生连中考数学压轴题都可以下手,起码得个2至5分,何况其它题呢?因此,我们今后的数学教育教学要扎扎实实按照实施素质教育的要求去做,确实体现二期课改“以学生发展为本”的教育理念,减轻学生过重的课业负担,狠抓基础教学,重视“双基”训练,包括抓好概念的辨析、主要公式的记忆、数学解题程式的掌握,争取让所有学生达到新课程标准的基本要求。

  ■从今年上海市的中考数学压轴题中,我们可以看到在考察学生基本运算能力、思维能力的同时,对优生还要着重考查学生灵活运用数学知识分析和解决问题的能力。因此,我们今后的数学教育教学中,对这部分学生的培养,应设计一些可考查他们灵活运用数学知识分析和解决问题的习题,但不要人为编造繁难的计算题和证明题。立意要新,要特别注重于创新意识和发散性思维能力的培养。

  ■今年上海市的中考数学压轴题中,与往年相同,也着重考查了学生对数学思想方法的理解和掌握。因此,给我们的启示是:在今后的数学教育教学中,重要的数学思想方法,如数形结合的思想、分类讨论的思想和几何运动变化等数学思想的教学要加强,而不是削弱。

  ■从今年上海市的中考数学压轴题学生的解答中,我们可以知道:要使这个题完全正确得满分,也是不易的。据了解一所普通中学考生所在的考场,25名考生竟无一人得满分。所以,我们在平时的数学教育教学中,既要教书,更要注重育人,使学生养成准确计算,审题严密,表达规范,思维和书写同步进行等良好的学习习惯,注意发展他们的优良的学习品质。

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